Il est difficile de trouver des informations (du moins en français) sur la nage indienne. C'est dommage car je lui trouve plusieurs avantage :

1. efficace énergétiquement
2. position faiblement traumatisante (évite la cambrure du dos au crawl ou la nuque cassée à la brasse)
3. respiration facile
4. “inné”

On l'appelle « nage indienne » ou « brasse indienne » tandis qu'en anglais cela se dit “side stroke” ; je préfère le terme anglais qui enlève la connotation. La raison principale de sa méconnaissance est qu'elle n'est pas une discipline olympique. Alors qu'elle a des avantages sur la longue distance et est utile pour des sauvetages — c'est d'ailleurs souvent dans ce domaine que l'on trouve le plus d'info sur le sujet.
Son origine est vague¹⁾, comme souvent pour des sujets (quasi-)universels. Cependant on la situe autour du XIXe siècle. Elle serait un mélange entre la « nage du chien » et la brasse. Elle aurait été créée avant le si-fameux crawl.

Traduction directe du site enjoy-swimming.com (et aussi 2e partie et des astuces :

Pour la position corporelle initiale, vous flottez sur le côté. Vos jambes sont étendues. Votre bras inférieur est étendu sous l'eau, votre bras supérieur repose à plat le long de votre corps. Vous maintenez cette position latérale durant tout le cycle du mouvement.

Votre tête doit être alignée avec votre colonne vertébrale, tournée sur le côté et légèrement vers le haut. En fait, une joue et une oreille est dans l'eau, le reste de votre visage est au-dessus de l'eau. C'est un petit peu comme poser votre tête sur oreiller. Cela vous permet de respirer facilement et d'avoir une bonne visibilté sur le côté.

Dans la nage indienne, vos deux bras bougent en même temps mais exécutent des mouvements différents. Nous appelerons le bras inférieur le bras principal et le bras inférieur le bras arrière.

Au début du cycle de mouvement, nous sommes ainsi :
Votre bras principal est étendu devant avec la paume tournée vers le bas.
Vos bras arrière est le long de votre corps.

Le mouvement des bras durant la première phase du cycle :
Votre bras principal va en arrière avec un mouvement semi-circulaire. Votre paume pousse l'eau en arrière, d'abord dans un mouvement vers le bas et en arrière, puis vers le haut et l'intérieur. À la fin du mouvement, votre main devant votre torse, avec la paume tournée vers le haut. Ceci est la phase de propulsion de votre bras principal.
Votre bras arrière va en avant, se pliant principal au niveau du coude. Votre main glisse en avant le long de votre jusqu'à ce que vos deux mains se rencontrent devant de votre torse. Idéalement à ce moment vos paumes se font face l'une l'autre, avec celle de votre bras arrière tournée vers le bas. Cette phase n'est pas propulsive pour votre bras arrière.

Ensuite vos bras s'étendent et reviennent à leur position initiale :
Votre mains principale va vers l'avant en ligne droite. La paume est tournée depuis une position vers le haut à vers le bas. Cette phase n'est pas propulsive pour votre bras principal.
Votre main arrière exécute un mouvement semi-circulaire vers l'arrière. Votre paume bouge d'abord vers l'arrière et le bas, puis en arrière et vers le haut, jusqu'à ce que votre bras soit complètement à nouveau étendu et le long de votre corps. Ceci est la phase propulsive de votre bras arrière.

L'analogie de la cueillette de pommes est souvent utilisée pour expliquer le mouvement des bras facilement : 1. Votre bras principal cueille une paume, votre bras arrière reste le long du corps. 2. Votre bras principal a en arrière, votre bras arrière va en avant. 3. Vos mains se rencontrent devant votre torse et la pomme est transférée de votre main principal vers votre main arrière. 4. Vos mains se séparent et retournent à leur position initiale. 5. Votre main arrière jette la paume à la fin du mouvement. 6. Un nouveau cycle reprend.

La nage indienne utilise un battement de ciseaux où les jambes bougent simultanément mais dans des directions différentes, un petit peu comme les lames d'un ciseau. Imaginons que vous êtes dans la position initiale au début du cycle du mouvement :
Vos jambes sont étendues.
Vos pointes de pied sont tendues.

Dans la première phase du battement de ciseaux, vos jambes se plient et bougent l'une de l'autre dans un plan horizontal : Votre jambe supérieur avance en avant relativement à votre corps. Votre hanche et votre genou se plient simultanément jusqu'à ce que vos deux articulations soient pliées à un peu moins de 45°. Votre pied supérieur est juste dans la continuité.
Votre jambe inférieure bouge dans la direction opposée. Elle se plie un petit peu en arrière à la hanche et beaucoup au niveau du genou (plus que 90°). En fait celle ressemble un peu comme si vous essayez de toucher vos fesses avec votre pied inférieur.

La seconde phase du mouvement du battement commence une fois que vos jambes ont atteint leur flexion maximale. Vos jambes s'étendent et créent la propulsion.
Votre jambe supérieure s'étend à la fois à la hanche et au genou. Votre pied est étendu afin que vous poussiez contre l'eau avec votre mollet et votre plante de pied.
Votre jambe inférieure s'étend également, un petit peu au niveau de la hanche et beaucoup au niveau du genou. Votre pied est également pointé et vous poussez effectivement l'eau en arrière avec votre tibia et le dessus de votre pied.
Vos jambes continuent de s'étendrent jusqu'au point où elles retournent à leur position initiale.
Vous pouvez observer une légère phase de glissade une fois que vos jambes (et vos bras) sont étendus avant d'entamer le cycle de mouvement suivant.

Au début, la coordination des bras et des jambes peut être difficile car cette nage utilise des mouvements assymétriques. Utiliser les astuces suivantes peut aider :
Le bras et la jambe supérieurs bougent dans la même direction en même temps. En avant (par rapport à votre direction de nage) durant la flexion et en arrière durant l'extension.
Vos bras et vos jambes se plient et s'étendent en même temps : dans la position initiale, les deux bras et les deux jambes sont étendues. Après cela vos mains se rencontrent devant votre torse au même moment où vos jambes sont au maximum de leur flexion.

Inspiration : Je respire rapidement à la fin de la phase quand les bras se séparent et durant la courte phase de glisse qui suit. C'est en raison de l'action de propulsion des jambes et du bras arrière qui relèvent un peu le buste et la tête. Tourner légèrement la tête vers le haut aide la bouche a être dégagée de l'eau.
Expiration : Vous pouvez expirer plus ou moins durant tout le reste du cycle du mouvement. J'expire même en partie dans l'eau car ma bouche et mon nez sont sous la surface de l'eau par moment.
Vous pouvez aussi relever la partie inférieur de votre tête au-dessus du niveau de l'eau en nagean afin de respirer plus facilement, mais cela peut être douloureux pour votre nuque si vous nagez sur de longues distances. Au fait, vous n'avez pas besoin de respirer à chaque cycle du mouvement. Vous pouvez expirer lentement et respirer seulement tous les deux ou trois cycles.

Avantages : * Du fait que le visage soit au-dessus de la surface de l'eau en permanence, vous éviter les problèmes de respiration et de visibilité. * Vous pouvez l'utiliser pour vous reposer lors de nage sur de longues distances. Vous pouvez observer une phase de glisse plus longue à la fin de chaque cycle du mouvement. Et vous pouvez changer de l'autre côté une fois que vous êtes fatigué de nager sur votre côté courant. * La nage indienne peut être une alternative intéressante aux nages plus conventionnelles car vous avez tendances à les nager tout le temps. * Elle est aussi utile pour les secouristes pour sauver une victime. Le secouriste peut tenir la victime contre sa poitrine avec un bras, particulièrement si la victime a une bouée de sauvetage à laquelle se tenir. Le secouriste peut toujours utiliser son autre bras et ses jambes pour nager.

Désantages :
* La nage indienne ne peut pas être utilisée en compétition : ce n'est autorisé que dans la catégorie « nage libre », et dans ce cas ce n'est pas assez rapide pour concourrir face à la nage du crawl. * En raison de la rotation du visage, vous ne pouvez pas regarder dans la direction dans laquelle vous nagez. Vous avez besoin de tourner un peu la tête en avant. Une autre solution est de changer de côté de nage après quelques mouvement et de jeter un œil lors du changement.

Extrait de la page d'explication sur le site de fédération française de natation :

Lundi 12 Janvier 2015Mystérieuse, mais pratiquée et populaire, la nage indienne demeure une énigme à bien des égards. Nous avons tenté de percer ses secrets.Certains auteurs désignent Harry Gurr comme le père fondateur de la nage indienne en 1863. Mais d’autres spécialistes estiment qu’Harry Gardener en est l’authentique instigateur, un an plus tôt, lorsqu’il remporta une épreuve de 500 yards à Manchester (Angleterre). Selon Paul Auge, auteur d’un ouvrage référent intitulé La natation, trois nages coexistaient au XVIe siècle : la nage en grenouille, la nage en chien et la très sérieuse planche ! A en croire Auge, la nage indienne serait née en 1850, découlant d’une combinaison originale entre la nage en grenouille et la nage en chien. Plus tard, toujours selon Paul Auge, la nage indienne aurait donné naissance au crawl que nous connaissons aujourd’hui. Il semble néanmoins que cette technique de nage existait bien avant le XIXe siècle. Les indiens d’Amérique du Nord pratiquaient, en effet, une sorte de crawl bien longtemps avant qu’il ne soit nagé en Europe ou en Australie. William Byrd, un colon anglais, écrivait en 1739 dans son journal : « Les indiens ne poussaient pas l’eau des deux mains, mais alternativement. De cette façon, ils nageaient à la fois plus rapidement et plus loin que nous ».Un autre témoignage de Ralph Thomas, l’un des premiers historiens de la natation, évoque deux indiens, Wenishkaweabee (la mouette volante) et Sah-ma (tabac) réalisant une démonstration de natation à la British Swimming Society de Londres en 1844. Les deux indiens auraient même été mentionnés dans le journal The London Times tant leur façon de nager était révolutionnaire à l’époque : « Leur style n’est pas du tout européen. Ils battent l’eau violemment avec leurs bras, comme les voiles d'un moulin à vent et battent de haut en bas de leurs pieds, soufflant avec force ». La majorité des historiens de la natation attribuent aux indiens d’Amérique, aux peuples de Polynésie et de l’Océan Pacifique, d’Afrique et d’Inde l’invention de la nage indienne. A la fin des années 1880, l’Anglais Frederick Cavill observe durant l'un de ses nombreux voyages dans les mers du sud les autochtones nager le crawl en battant des pieds. Cavill importera ce style en Australie, en enseignant ce qui devait devenir le fameux crawl australien.