Il est difficile de trouver des informations (du moins en français) sur la nage indienne. C'est dommage car je lui trouve plusieurs avantage :

1. efficace énergétiquement
2. position faiblement traumatisante (évite la cambrure du dos au crawl ou la nuque cassée à la brasse)
3. respiration facile
4. “inné”

On l'appelle « nage indienne » ou « brasse indienne » tandis qu'en anglais cela se dit “side stroke” ; je préfère le terme anglais qui enlève la connotation. La raison principale de sa méconnaissance est qu'elle n'est pas une discipline olympique. Alors qu'elle a des avantages sur la longue distance et est utile pour des sauvetages — c'est d'ailleurs souvent dans ce domaine que l'on trouve le plus d'info sur le sujet.
Son origine est vague¹⁾, comme souvent pour des sujets (quasi-)universels. Cependant on la situe autour du XIXe siècle. Elle serait un mélange entre la « nage du chien » et la brasse. Elle aurait été créée avant le si-fameux crawl.

Extrait de la page d'explication sur le site de fédération française de natation :

Lundi 12 Janvier 2015Mystérieuse, mais pratiquée et populaire, la nage indienne demeure une énigme à bien des égards. Nous avons tenté de percer ses secrets.Certains auteurs désignent Harry Gurr comme le père fondateur de la nage indienne en 1863. Mais d’autres spécialistes estiment qu’Harry Gardener en est l’authentique instigateur, un an plus tôt, lorsqu’il remporta une épreuve de 500 yards à Manchester (Angleterre). Selon Paul Auge, auteur d’un ouvrage référent intitulé La natation, trois nages coexistaient au XVIe siècle : la nage en grenouille, la nage en chien et la très sérieuse planche ! A en croire Auge, la nage indienne serait née en 1850, découlant d’une combinaison originale entre la nage en grenouille et la nage en chien. Plus tard, toujours selon Paul Auge, la nage indienne aurait donné naissance au crawl que nous connaissons aujourd’hui. Il semble néanmoins que cette technique de nage existait bien avant le XIXe siècle. Les indiens d’Amérique du Nord pratiquaient, en effet, une sorte de crawl bien longtemps avant qu’il ne soit nagé en Europe ou en Australie. William Byrd, un colon anglais, écrivait en 1739 dans son journal : « Les indiens ne poussaient pas l’eau des deux mains, mais alternativement. De cette façon, ils nageaient à la fois plus rapidement et plus loin que nous ».Un autre témoignage de Ralph Thomas, l’un des premiers historiens de la natation, évoque deux indiens, Wenishkaweabee (la mouette volante) et Sah-ma (tabac) réalisant une démonstration de natation à la British Swimming Society de Londres en 1844. Les deux indiens auraient même été mentionnés dans le journal The London Times tant leur façon de nager était révolutionnaire à l’époque : « Leur style n’est pas du tout européen. Ils battent l’eau violemment avec leurs bras, comme les voiles d'un moulin à vent et battent de haut en bas de leurs pieds, soufflant avec force ». La majorité des historiens de la natation attribuent aux indiens d’Amérique, aux peuples de Polynésie et de l’Océan Pacifique, d’Afrique et d’Inde l’invention de la nage indienne. A la fin des années 1880, l’Anglais Frederick Cavill observe durant l'un de ses nombreux voyages dans les mers du sud les autochtones nager le crawl en battant des pieds. Cavill importera ce style en Australie, en enseignant ce qui devait devenir le fameux crawl australien.